作業十二

12.1
本人5/31號曾全程來上課
12.2
徑節(Diametral pitch,為模數之倒數,單位為(齒/寸))Pd為8,即節徑(節圓直徑D)上每寸直徑所分配之齒數為8,齒數分別為30T與48T，其工作壓力角為20度,14.5或25度。
根據圖:

計算

==取壓力角為20度==
1.求其接觸線長度，與接觸比
接觸線長度:
已知
N1=30T
N2=48T
Pd=8
所以
D1=N1/Pd1=30/8=3.75,R1=1.875
D2=N2/Pd2=48/8=6,R2=3
齒冠
a1=1/Pd1=1/8=0.125=a2
由上圖可知
LAB=AB=AP+PB
=(AN-PN)+(BM-PM)
=((R2+a)^2-R2^2cos^2(20))^0.5-R2*sin(20)+((R1+a)^2-R1^2cos^2(20))^0.5-R1*sin(20)
=((3+0.125)^2-3^2*(cosd(20))^2)^0.5-3*sind(20)+((1.875+0.125)^2-1.875^2*(cosd(20))^2)^0.5-1.875*sind(20)
=0.6275------------------------------接觸線長度
接觸比Mc
建立程式
function [c_ratio,c_length,ad,pc,pb,d2,d3,ag]=contact_ratio(pd,n2,n3, phi)
% 輸入:
% Pd:徑節;
% n2,n4:O1,O2之齒數;
% phi:壓力角, degrees
% 輸出:
% c_ratio, c_length:接觸比及接觸長度
% ad:齒冠
% 　 pc,pb:周節及基周節
% 　 d2, d3:兩齒輪節圓直徑
% 　ag:接近角,退遠角,作用角
% [alpha2 beta2 theta2 alpha3 beta3 theta3]
d2g=pi/180;
pangle=phi*d2g;
cosx=cos(pangle);sinx=sin(pangle);
ad=1./pd;pc=pi./pd;
pb=pc.*cosx;
r2=n2./(2*pd);r3=n3./(2*pd);d2=2*r2;d3=2*r3;
rb2=r2.*cosx;rb3=r3.*cosx;
ax=sqrt((r3+ad).^2-(r3.*cosx).^2)-r3.*sinx;
xb=sqrt((r2+ad).^2-(r2.*cosx).^2)-r2.*sinx;
c_length=ax+xb;
c_ratio=c_length./pb;
ag1=[ax./rb2 xb./rb2 c_length./rb2]/d2g;
ag2=[ax./rb3 xb./rb3 c_length./rb3]/d2g;
ag=[ag1;ag2];
執行
[c_ratio,c_length,ad,pc,pb,d2,d3,ag]=contact_ratio(8,30,48,20)
得
ans =1.7005
[c_ratio,c_length,ad,pc,pb,d2,d3,ag]=contact_ratio(8,30,48,20)
c_ratio =1.7005
c_length =0.6275
ad =0.1250
pc =0.3927
pb =0.3690
d2 =3.7500
d3 =6
ag =
10.4850, 9.9211, 20.4061
6.5532, 6.2007, 12.7538
已知
Mc=LAB/Pb(接觸線長度/基周節)
=0.6275/0.3690
=1.7005
所以接觸比Mc=1.7005=ans---------------------------------接觸比
2.兩齒輪之節圓、基圓直徑各為如何？請列式計算其結果
~根據上題所求得之數值~
兩齒輪之節圓、基圓直徑各為
O1:
節圓直徑:3.75
基圓直徑:(R1-a2)*2=3.5
O2:
節圓直徑:6
基圓直徑:(R2-a1)*2=5.75
(計算過程在前一題)
3.此組齒輪是否會產生干涉現象？試列式證明之
令
R1=O1節圓半徑
R2=O2節圓半徑
壓力角=f
證明:
如果齒輪不產生干涉
則
1.MP大於MA
R1*sind(f)大於=((R2+a2)^2-R2^2*cosd(f)^2)^0.5-R2*sind(f)
R1*sind(f)大於=(a2+2*a2*R2+R2^2*sind(f)^2)^0.5-R2*sind(f)
整理得
(R1+R2)^2*sind(f)^2大於=a2^2+2*a2*R2+R2^2*sind(f)^2
(R1^2+2*R1*R2)*sind(f)^2大於=a2^2+2*a2*R2
令齒冠=a1=a2=1/Pd,Ri=Ni/(2*Pd),代入
得
N1*(N1+2*N2)*(sind(f))^2大於= 4(1+N2)
同理
2.NP大於BP
R2*sind(f)大於=((R1+a1)^2-R1^2*cosd(f)^2)^0.5-R1*sind(f)
簡化
(R2^2+2*R2*R1)*sind(f)^2大於=a1^2+2*a1*R1
N2*(N2+2*N1)*sind(f)^2大於=4(1+N1)
今令
N1=30
N2=48
壓力角=20
代入公式
N1*(N1+2*N2)*(sind(f))^2大於= 4(1+N2)
得
30*(30+2*48)*(sind(20))^2大於=4(1+48)----公式成立----無干涉發生
另外也可用程式isinterf.m檢驗
isinterf.m:
function [x]=isinterf(phi,N1,N2)
% phi:壓力角,in degrees
% N1,N2:兩齒輪之齒數
% x=0:無干涉; x=1:發生干涉
x=0;
sinx=sin(phi*pi/180);
if N2小於N1,nn=N1;N1=N2;N2=nn;end
if N1*(N1+2*N2)*sinx*sinx小於4*(1+N2), x=1;end
執行
isinterf(20,30,48)
得
ans = 0-------無干涉發生
所以此兩齒輪不發生干涉
4.可否利用draw_gear.m繪出其接合情形，並繪出其動畫效果。
接合情形
利用draw_gear.m
draw_gear.m:
function [coords]=draw_gear(Dp,N,phi,range,x0,y0)
% 輸入:
% Dp:徑節
% N: 齒輪齒數
% phi: 壓力角
% range: 繪圖角度範圍
% x0,y0: 圓心座標
[coord,theta,rp,rb]=tooth(Dp,N,phi);
coords=[];i=0;
while i小於range
coord1=rotate2D(coord,-i,x0,y0);
coords=[coords;coord1];
i=i+theta;
end
plot(coords(:,1),coords(:,2));hold on;
[coord]=bushing(rp/8,x0,y0);
plot(coord(:,1),coord(:,2),'b-');
[coord]=bushing(-rp,x0,y0);
plot(coord(:,1),coord(:,2),'r:');
[coord]=bushing(-rb,x0,y0);
plot(coord(:,1),coord(:,2),'b:');
axis equal;
將程式中的i分別改為
i=-90
i=90
在分別執行
draw_gear(8,30,20,90,0,0)
draw_gear(8,48,20,270,4.875,0)
可得咬合情形
圖示:

另外
用程式move2_gear.m(講義中有)繪出動畫效果
move2_gear(Dpitch,nn1,nn2,phi,omega1)
輸入:
Dpitch:節徑D
nn1,nn2: 兩齒輪之齒數
phi:壓力角
omega1: O1之角數度
執行move2_gear(8,30,48,20,10)
動畫:


==取壓力角為14.5度==
1.求其接觸線長度，與接觸比
2.兩齒輪之節圓、基圓直徑各為如何？請列式計算其結果
執行
[c_ratio,c_length,ad,pc,pb,d2,d3,ag]=contact_ratio(8,30,48,14.5)
得
ans =2.0308
[c_ratio,c_length,ad,pc,pb,d2,d3,ag]=contact_ratio(8,30,48,14.5)
c_ratio =2.0308
c_length =0.7721
ad =0.1250
pc =0.3927
pb =0.3802
d2 =3.7500
d3 =6
ag =
12.6898, 11.6797, 24.3695
7.9311, 7.2998, 15.2309
可知
接觸線長度:0.7721
接觸比:2.0308
O1:
節圓直徑:3.75
基圓直徑:(R1-a2)*2=3.5
O2:
節圓直徑:6
基圓直徑:(R2-a1)*2=5.75
3.此組齒輪是否會產生干涉現象？試證明之
執行
isinterf(14.5,30,48)
得
ans =0
所以無干涉發生
4.可否利用draw_gear.m繪出其接合情形，並繪出其動畫效果。
接合情形
圖示:

執行move2_gear(8,30,48,14.5,10)
動畫:


==取壓力角為25度==
1.求其接觸線長度，與接觸比
2.兩齒輪之節圓、基圓直徑各為如何？請列式計算其結果
執行
[c_ratio,c_length,ad,pc,pb,d2,d3,ag]=contact_ratio(8,30,48,25)
得
c_ratio =1.5028
c_length =0.5349
ad =0.1250
pc =0.3927
pb =0.3559
d2 =3.7500
d3 =6
ag =
9.1921, 8.8419, 18.0340
5.7450, 5.5262, 11.2712
可知
接觸線長度:0.5349
接觸比:1.5028
O1:
節圓直徑:3.75
基圓直徑:(R1-a2)*2=3.5
O2:
節圓直徑:6
基圓直徑:(R2-a1)*2=5.75
3.此組齒輪是否會產生干涉現象？試證明之
執行
isinterf(25,30,48)
得
ans = 0
所以無干涉發生
4.可否利用draw_gear.m繪出其接合情形，並繪出其動畫效果。
接合情形
圖示:

執行move2_gear(8,30,48,25,10)
動畫:


壓力角為20之解為主要說明及解答
另外補充壓力角分別為
14.5
25
的各項數值,圖片及動畫
如果無法看到圖片或動畫
請至我的部落格~~~~

知識要活用才能產生力量!!

作業11(改)

11.1本人本週(5/24)有來上課
11.2
某凸輪開始時先在0-100∘區間滯留，然後提升後在200至260∘區間滯留，其高度（衝程）為5公分，其餘l由260∘至360∘則為返程。升程採用等加速度運動，返程之運動型式自定。設刻度區間為10∘，試繪出其高度、速度及加速度與凸輪迴轉角度間之關係。
先設置一程式:plot_dwell.m
function plot_dwell(ctheta,s,pattern,range)
figure(1);clf;
[y,yy,yyy]=dwell(ctheta,range,pattern)
h1=plot(ctheta,y*s,'b-',ctheta,yy*s,'k-',ctheta,yyy*s,'r-')
legend('Displacement','Velocity','Acceleration',3)
xlabel('Elapsed Angle, degrees')
grid
執行
plot_dwell(0:10:360,5,[2 1],[100 200 260]);
升程:等加速運動
回程:等速運動
圖示:

11.3
設凸輪之半徑為15公分，以順時針方向旋轉，其從動件為梢型，垂直接觸，長為10公分，從動件之運動係依照第二項之運動型式。試繪出此凸輪之工作曲線。
先設置一程式:P8_11.m
function [theta,y]=P8_11(theta,limit0,s)
d2r=pi/180;
h=s;lm=limit0*d2r;
lm=[lm(1) (lm(1)+lm(2))/2 lm(2) lm(3) (lm(3)+lm(4))/2 lm(4)]/d2r;
LM=lm*d2r;
th=theta*d2r;
y=ones(size(th));
y(thy(th>=LM(3))=h;
y(th>=LM(1)&th=LM(1)&thy(th>=LM(2)&th=LM(2)&thy(th>=LM(4)&th=LM(4)&thy(th>=LM(5)&th<=LM(6))=2*h*(1-(th(th>=LM(5)&th<=LM(6))-LM(4))/(LM(6)-LM(4))).^2;
plot(th/d2r,y);
xlabel('Theta in degrees');
ylabel('Follower displacement');
grid on;
執行
P8_11([0:10:360],[100 200 260 360],10)
工作曲線圖示:

11.4
你能讓此凸輪迴轉嗎？
能
圖示:

作業十(改)

10.1
本人本週(5/17)有來上課
10.2
請思考速度與加速度的問題，當一桿以某特定點Ｍ等角速度迴轉時，其端點Ｐ之速度方向如何？其加速度方向如何？若該特定點Ｍ復以等速水平運動，則同一端點Ｐ之速度與加速度方向會變為如何？若Ｍ點同時也有加速度，則點Ｐ會有何變化？若以此推理四連桿的運動，則點Ｐ與Ｑ之速度與加速度方向會與桿一（固定桿）之兩端點之關係如何？與我們前面的作業分析結果有無共通之處？（參看第六章之四連桿機構之運動分析）

計算:
角速度:x rad/s
角加速度=0 rad/s^2
Vp:端點速度
Ap:端點加速度
t:時間
r:桿長
i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)---皆為向量
端點速度:
Vp=xk*(r*cos(x*t)i+r*sin(x*t)j)-------角速度為x時之P點速度
端點加速度:
Ap=Apr-Apu
=0-x^2*(r*cos(x*t)i+r*sin(x*t)j)
=-x^2*(r*cos(x*t)i+r*sin(x*t)j)----角速度為x時之P點加速度
Apr:P點切線方向加速度
Apu:P點法線方向加速度
若M點速度:Vm=Vmi(M點以等速水平運動)
則
Vp=Vm+Vp/m
=Vmi+xk*(r*cos(x*t)i+r*sin(x*t)j)---M點以Vmi等速水平運動時之P點速度
Ap=Am+ak*Rp/m-x^2*Rp/m
=0+0-x^2*(r*cos(x*t)i+r*sin(x*t)j)--M點以Vmi等速水平運動時之P點加速度
Vm:M點速度
Vp/m:P點相對於M點之速度
Rp/m:P點相對於M點之距離向量
若M點加速度:Am=Ami+Am'j----Ami,Amj為Am之兩分量
則
Vp=Vm+Vp/m
=Vmi+xk*(r*cos(x*t)i+r*sin(x*t)j)---M點同時有加速度之P點速度
Ap=Am+ak*Rp/m-x^2*Rp/m
=Ami+Amj+0-x^2*(r*cos(x*t)i+r*sin(x*t)j)
=(Am-x^2*r*cos(x*t))i+(Am'-x^2*r*sin(x*t))j---M點同時有加速度之P點加速度
Vm:M點速度
Vp/m:P點相對於M點之速度
Rp/m:P點相對於M點之距離向量
推測四連桿的運動，點Ｐ與Ｑ之速度與加速度方向與桿一（固定桿）之兩端點之關係
假設:
桿1連桿2處為O,桿2連桿3處為P
桿1連桿4處為R,桿3連桿4處為Q
P點速度:Vp,Q點速度:Vq,4桿長度=[L1,L2,L3,L4]
4桿角速度=[w1,w2,w3,w4],4桿角加速度=[a1,a2,a3,a4],相對距離=D
則Vp=Vo+Vp/o=Vr+Vp/r
Vq=Vo+Vq/o=Vr+Vq/r
Ap=Ao+a2k*L2p/o-w2^2*L2p/o或
=Ar-a1k*L1o/r-w1^2*L1o/r+a2k*L2p/o-w2^2*L2p/o
Aq=Ar+a4k*L4q/r-w2^2*L4q/r或
=Ao+a1k*L1r/o-w1^2*L1r/o+a4k*L4q/r-w2^2*L4q/r
Vo:O點速度
Vp/o:P點相對於O點之速度
Vq:Q點速度
Vq/o:Q點相對於O點之速度
Vr:R點速度
Vp/r:P點相對於R點之速度
Vq/r:Q點相對於R點之速度
Ap:P點加速度
L2p/o:P點相對於O點距離為L2之向量
L1o/r:O點相對於R點距離為L1之向量
L4q/r:Q點相對於R點距離為L4之向量
L1r/o:R點相對於O點距離為L1之向量
都事先固定或確定其特定點(如O點)或特定桿(如桿1)之速度或加速度,再藉由各點(桿)間之相對速度及加速度,決定各點(桿)之絕對速度或加速度.與我們前面的作業分析結果有共通之處.
10.3
設有一運動之曲柄滑塊連桿組合，設滑塊之偏置量為零，且在水平方向移動，試以此機構之曲桿長度及角度，以及連結桿之長度為輸入項，利用matlab寫出一程式計算在不同曲柄角度時，六點瞬心之對應位置。可順便探討六點瞬心與曲柄角間之關係。

計算:
已知6點瞬心分別在3個連結點,垂直滑塊之無窮遠處,連結趕延伸線與過連結點1之垂直線相交處,及曲桿延伸線與垂直滑塊之延長線相交處.
令曲柄角度:th
曲柄長:L1
連結桿長:L2
瞬心位置分別為
1:(0,0)--連結點1
2:(L2*cos(th),L2*sin(th))--連結點2
th2=asin(L2*sin(th)/L3);
L=L2*cos(th)+L3*cos(th2);
3:(L,0)--連結點3
4:(0,L*tan(th2))--連結趕延伸線與過連結點1之垂直線相交處
5:(L,L*tan(th))--曲桿延伸線與垂直滑塊之延長線相交處
6:(L,無限遠)--垂直滑塊之無窮遠處

作業9(改)

本週(5/3)有來上課
請就教科書中第四章第五節之偏置機構作另類分析，分析過程可採你所知的方式（包括講義中所列的方法）。運動中分以曲桿驅動及滑塊驅動的方式，並說明運動的界限或範圍。設此機構之曲桿長Rcm ， 連桿Lcm，滑塊之偏置量為10cm等數據作分析。其中，R=10+(學號末二碼），Ｌ＝Ｒ+5 。

計算:
令桿2=R,桿3=L,滑塊水平距離=d,偏置量=e
依幾何關係建聯立方程式
R*sin(th2)+L*sin(th3)=e
R*cos(th2)+L*cos(th3)=d
可求出
th3=asin(e-R*sin(th2)/L)
th3'=asin(-e+R*sin(th2)/L)+pi
建立程式
function [d,theta3]=slider_solve(theta2,R,L,e,mode)
%theta2=桿2角度
%R=桿2長度 L=桿3長度
%e=偏置量 mode=決定theta3之角度
if nargin小於5, mode=0;end
d2g=pi/180;
theta=theta2*d2g;
cc=(e-R.*sin(theta))./L;
if mode大於=0,
theta3=asin(cc);
else
theta3=asin(-cc)+pi;
end
d=L.*cos(theta3)+R.*cos(theta);
theta3=theta3/d2g;
輸入桿2角度,R,L,e即可求出桿3角度和滑塊水平距離
---------------------------------------------
今令R=43,L=48,e=10
由幾何關係可知
theta2左極限出現在d=0時
右極限距離出現在R,L為直線時
右極限角度出現在e,L重疊時
左極限(d=0):
R*sin(th2)+L*sin(th3)=e
R*cos(th2)+L*cos(th3)=d
R=43,L=48,e=10,d=0
解聯立
theta2=204.3851
theta3=35.3229
圖示

右極限(d最遠):
theta2=asind(e/(R+L))=theta3
theta2=theta3=6.309
滑塊位置d=(R+L)*cosd(theta2)
=90.4489
圖示

右極限(角度)
Rsin(theta2)=-(L-e)
theta2=-62.94
theta3=90
圖示

所以
R=43,L=48,e=10:
theta2=6.309~204.3851-------角度限制
d=90.4489~0-----------------距離限制